Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+b/1+x²为奇函数，且f(1/2)=2/5

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=ax+b/1+x²为奇函数，且f(1/2)=2/5。
（1）求实数a,b的值
（2）求证：函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f(t-1)+f(t)＜0

Answer 1

1.
f(-x)=-f(x)
则：b=0
而：f(1/2)=2/5
a(1/2)/(1+(1/4))=2/5
a=1

2.
f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1,则：x1-x2<0, x1x2<1, 1-x1x2>0
f(x1)-f(x2)
=[x1/(1+x1^2)]-[x2/(1+x2^2)]
=[(1+x2^2)x1-(1+x1^2)x2]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=(x1-x2)(1-x1x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]<0
f(x1)<f(x2)
函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数

3.
f(t-1)+f(t)＜0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2

同时：-1<t-1<1, -1<t<1, 则：0<t<1

所以：0<t<1/2

Answer 2

1.
f(-x)=-f(x)
则：b=0
而：f(1/2)=2/5
a(1/2)/(1+(1/4))=2/5
a=1
2.
f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1,则：x1-x2<0,
x1x2<1,
1-x1x2>0
f(x1)-f(x2)
=[x1/(1+x1^2)]-[x2/(1+x2^2)]
=[(1+x2^2)x1-(1+x1^2)x2]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=(x1-x2)(1-x1x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]<0
f(x1)<f(x2)
函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数
3.
f(t-1)+f(t)＜0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2
同时：-1<t-1<1,
-1<t<1,
则：0<t<1
所以：0<t<1/2