Question

急急急！！！一道高一函数题

设函数f(X)在负无穷到正无穷上满足f(2-X)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间【0，7】上，只有f(1)=f(3)=0。
1、试判断函数y=f(x)的奇偶性
2、试求方程f(x)=0在闭区间【-2005，2005】上的根的个数，并证明你的结论。
大家在解答后面写一下思路，如果对函数问题比较有心得的也请分享一下！
希望各位伸出援手，帮忙解下，要交的，谢谢！
再问一下，在左右鱼耳的回答中，为什么f（x）的对称轴为x=2和x=7，即推得f（x）不是奇函数。还有就是“又 f（1）= f（3）=0 ，而f（7）≠0，故函数为非奇非偶函数。”没懂，望详细说明。

Answer 1

解：（Ⅰ） 由于f（2-x）= f（2+x）， f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7，即f（x）不是奇函数。

联立f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）

推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
又 f（1）= f（3）=0 ，而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数。

（Ⅱ）f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）= f（14-x）= f（x）
且闭区间[0，7]上只有f（1）= f（3）=0
得f（11）= f（13）=f（-7）= f（-9）= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
则方程f（x）=0在闭区间[0，2005]上的根为402个，方程f（x）=0在闭区间[－2005，0]上的根为400个

得方程f（x）=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数为802个