Question

已知函数y=f(x)定义在R上的减函数,函数y=f(x-1)的图像关于(1,0)对称，

已知函数y=f(x)定义在R上的减函数,函数y=f(x-1)的图像关于(1,0)对称,x,y满足f(x^2-2x)+f(2y-y^2)<=0,M(1,2),N(x,y),O为坐标原点,当1<=x<=4时,向量OM*ON取值范围为?

Answer 1

y=f(x)可以由y=f(x-1)向左平移1个单位后得到

因为函数y=f(x-1)的图像关于(1,0)对称，所以y=f(x)的图像关于原点对称，y=f(x)是奇函数，f(x)=-f(-x)

x,y满足f(x^2-2x)+f(2y-y^2)<=0

f(x^2-2x)<=-f(2y-y^2)

f(x^2-2x)<=f(y^2-2y)

因为y=f(x)定义在R上的减函数，所以x^2-2x>=y^2-2y

设g(x)=x^2-2x

易知g(x)的图像关于x=1对称，所以g(x)=g(2-x)

因g(x)在1<=x<=4上函数单调递增

所以要使g(x)>=g(y)，y需满足2-x<=y<=x

整理得y>=2-x且y<=x，因N的坐标就是(x,y)，且x的取值范围是1到4，所以N点所在的区域即y>=2-x，y<=x，x=1，x=4这四条曲线围城的阴影部分，如图所示：

向量OM=(1,2),向量ON=(x,y),则向量OM*ON=x+2y

设t=x+2y，则y=-x/2+t/2

因此函数为一次函数，且该曲线与y轴的交点的纵坐标即t/2，所以t取最大值时该曲线经过曲线y=x与曲线x=4的交点处，即点(4,4)；t取最小值时该曲线经过曲线y=2-x与曲线x=4的交点处，即点(4,-2)，全部能取到边界

分别将此两点代入t=x+2y中，得到t的取值范围是[0,12]