Question

函数y=f(x)为定义在R上的减函数，函数Y=f(x-1)的图像关于点（1,0）对称，

Answer 1

∵y=f(x-1)图像关于点(1,0)对称
∴y=f(x)关于(0,0)对称
∴f(x)为奇函数；
∵f(x^2-2x)+f(2y-y^2)≤0，
∴f(x^2-2x)≤-f(2y-y^2)=f(y^2-2y)；
∵(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)<0,那么函数在R上是减函数
∴x^2-2x≥y^2-2y；
问题可以转化为:
不等式组|x-1|≥|y-1|
在1≤x≤4表示的区域内求y=kx(与区域有公共点)的斜率范围
解得:k=y/x∈[-1/2,1]
或者说:
x^2-2x≥y^2-2y恒成立
（x+y-2）（x-y）≥0恒成立
坐标系中上述不等式表示的范围是直线y=x与直线x+y=2交叉是个区域中，左右两个
当x属于[1，4]时，用线性规划，
y/x指的是区域中的点与原点连线的斜率。
当x=4，y=-2时，y/x取得最小值-1/2
当x=y时，y取得最大值1

Answer 2

解：函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
所以f（x）为
奇函数．
∴f（x
2
-2x）≤f（-2y+y
2
）≤0，
∴x
2
-2x≥-2y+y
2
，
∴
x2−2x≥y2−2y
1≤x≤4

即
(x−y)(x+y−2)≥0
1≤x≤4
，画出可行域如图，
可得
OM
•
ON
=x+2y∈[0，12]