Question

（1）请写出第（n）个三角形数 （2）请写出2个既是三角形数又是正方形数的数

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．在图1中，依次摆成第（1），（2），（3），（4）…个三角形状的小石子数3，6，10，…称为三角形数；在图2中，依次摆成第（1），（2），（3），（4）…个正方形状的小石子数4，9，16，…称为正方形数．（1）请写出第（n）个三角形数______________，（2）请写出2个既是三角形数又是正方形数的数___________________________．

Answer 1

对于图1，第二个三角形相对于第一个三角形增加了3，第三个相对于第二个增加了4，那么，第四个相对于第三个增加了5.....以此类推。3,4,5,6......这是一种等差数列的增长方式。根据等差数列求和公式，再加上基数3， 就可以得到每个三角形的三角形数。对于图2，都是正方形。对于第一个图形，边长是两个点；第二个图形边长是三个点；第n个图形相应的边长就是n+1个点，再平方一下就可以了。第一个表达式的结果是3+（n-1)(n+4)/2;第二个结果是n+1的和的平方；第二小问，既是三角形数，又是正方形数，只要上述两式相等即可。