Question

已知函数f（x）=a/e^x-e^x/a是奇函数，则f（x）在R上的单调性是

Answer 1

因为f（x）=a/e^x-e^x/a是奇函数，
f(0)=a-1/a=0,a=±1
f(x)关于原点对称,所以单调性只用验证一半就行。
下面看f(x)在[0,+∞)上的单调性。
①当a=1时，f(x)=1/e^x-e^x
令X2＞X1≥0，
f(X2)-f(X1)=(1/e^X2-e^X2) - (1/e^X1-e^X1)
=(1/e^X2 -1/e^X1)+(e^X1-e^X2)
=[(e^X1 -e^X2)/e^(X1+X2)]+(e^X1-e^X2)
=(e^X1-e^X2)[1+1/^(X1+X2)]
因为X2＞X1≥0，所以e^X1＜e^X2，1+1/^(X1+X2)]＞0
所以f(X2)-f(X1)＜0，f(X2)＜f(X1)
所以f(x)在[0,+∞)上单调递减。
又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)在R上单调递减。
②当a=-1时f(x)=e^x-1/e^x
令X2＞X1≥0，
f(X2)-f(X1)=(e^X2-1/e^X2) - (e^X1-1/e^X1)
=(1/e^X1 -1/e^X2)+(e^X2-e^X1)
=[(e^X2 -e^X1)/e^(X1+X2)]+(e^X2-e^X1)
=(e^X2-e^X1)[1+1/^(X1+X2)]
因为X2＞X1≥0，所以e^X2＞e^X1，1+1/^(X1+X2)]＞0
所以f(X2)-f(X1)＞0，f(X2)＞f(X1)
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增。
又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)在R上单调递增。