Question

设a＞0,f(x)=e^x／a+a／e^x是R上的偶函数。（1）求a的值。（2）证明f(x)在（0，+∞）上的单调性

Answer 1

解：1、f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数，所以对于任意x,都有f（-x)=f(x）
所以f(-1)=f(1)
即（e^-1)/a+a/e=e/a+a/(e^-1)
通过移项得，e/a-(e^-1)/a=a/（e^-1)-a/e
解得a=1或-1
因为a>0
所以a=12、a=1
f(x)=e^x+1/e^x
x1,x2∈（0，＋∞），x1＜x2
f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^x1-（e^x2+1/e^x2）=e^x1-e^x2＋1/e^x1-1/e^x2=（e^x1-e^x2）（e^x1e^x2-1）/e^x1e^x2
x1,x2∈（0，＋∞），所以e^x1e^x2-1＞0,e^x1-e^x2＜0
所以（e^x1-e^x2）（e^x1e^x2-1）/e^x1e^x2＜0
所以f(x1)＜f(x2)
所以f(x)在（0，＋∞）上是增函数

Answer 2

(1);f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=f(x)=e^x/a+a/e^x;
e^(-x)/a+a/e^(-x)=e^x/a+a/e^x;
两边同时乘以ae^(x),可得:
1+a²(e^x)²=(e^x)²+a²;
(a²-1)(e^x)²=a²-1;
(a²-1)[(e^x)²-1]=0; a²-1=0; a²=1,又a>0; 故a=1;
(2); f(x)=e^x/a+a/e^x;
f '(x)=e^x/a-a/e^x=[(e^x)²-a²]/(ae^x)=(e^x+a)(e^x-1)/(ae^x);
由于e^x+a>0; ae^x>0;
当e^x>1时,即:x>0时,f'(x)>0; f(x)为增函数;
当e^x<1时,即:x<0时;f'(x)<0; f(x)为减函数;
e^x=1时f(x)有最小值;
故f(x)在(0,+∞)上必为单调增函数;