等边三角形ABC，P是三角形外一点，且∠ABP+∠ACP=180°，求证：PB+PC=PA
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证明：∵∠ABP+∠ACP=180°
∴ A、B、P、C四点共圆
在AP上取AQ=PC
在△ABQ和△CBP中
∵ AB=BC，AQ=PC
∠BAP=∠BCP（同弧上的圆周角相等）
∴△ABQ≌△CBP
故BQ=BP
又∠APB=∠ACB=60°
∴△BQP是等边三角形
∴ PB=PQ
于是 PA=PQ+QA=PB+PC
∴ A、B、P、C四点共圆
在AP上取AQ=PC
在△ABQ和△CBP中
∵ AB=BC，AQ=PC
∠BAP=∠BCP（同弧上的圆周角相等）
∴△ABQ≌△CBP
故BQ=BP
又∠APB=∠ACB=60°
∴△BQP是等边三角形
∴ PB=PQ
于是 PA=PQ+QA=PB+PC
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