Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC,AB=BC,E是AB的中点，CE⊥BD。

求证：（1）：BE=AD
（2）：AC是线段ED的垂直平分线
（3）：△DBC是等腰三角形吗?并说明理由

Answer 1

1.CE⊥BD
∠DBA=∠ECB,
ABC=DAB=90,AB=BC
三角形ADB全等EBC
AD=BE,
2.中点,AD=AE,
∠BAC=DAC=45,
：AC是线段ED的垂直平分线
3.AC是线段ED的垂直平分线
CE=CD=DB [ ADB全等EBC]
△DBC是等腰三角形

Answer 2

(1)∵∠ADC+∠DCB=180°, ∠DCB=75°
∴∠ADC=105°
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC, ∠EDC=60°
∴∠ADE=105°-60°=45°
(2) 取DE中点G，分别连接AG,DG
∵∠EAD=90°, ∠ADE=45°
∴△EAD是等腰直角三角形
∴AE=AD
∴AG⊥DE
∵△ECD是等边三角形
∴CG⊥DE
∴点A,G,C三点在同一条直线上
此时，在△ABC中，∠B=90°, ∠BAC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴AB=BC
(3) 延长EB至H，使得EB=BH，连接CH
∵∠EBC=90°, ∠ECB=15°
∴∠ECH=2∠ECB=30°, ∠HEC=∠EHC=75°
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°
∴∠BFC=75°
∴△ECH与△FBC相似
∴FC/2EB=BC/CE
∴FC=2EB*BC/CE=2*BE*cos15°=2*EC*sin15°*cos15°
∴FC/DC=FC/EC=2*sin15°*cos15°=sin30°=1/2
∴DF/FC=1