Question

sinx在区间负无穷到正无穷的定积分是多少

Answer 1

sinx在区间负无穷到正无穷的定积分是不存在。

计算过程如下：

如果让积分下限以-(n+1/2)π趋近于-∞

积分上限以nπ趋近于+∞

那么lim(n->∞) ∫(-(n+1/2)π——>nπ) sinxdx

=lim(n->∞) (-1)^n

=不存在

定积分的性质：

把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

sinx在区间负无穷到正无穷的定积分是不收敛于任何值的。

计算方法如下：
如果让积分下限以-(n+1/2)π趋近于-∞，积分上限以nπ趋近于+∞，
那么lim(n->∞) ∫(-(n+1/2)π——>nπ) sinxdx
=lim(n->∞) (-1)^n
=不存在
所以，根据极限的一致收敛性，极限lim(x->+∞) ∫(-x——>x) sinxdx不存在，所以原积分不收敛。

极限的一致收敛性是指，若lim(x->a) f(x)=m，那么对于任意的满足n->+∞，
g(n)->a的函数g(x)来说，都有lim(n->+∞) f(g(n))=m。如果有一个g(x)不满足，那么lim(x->a) f(x)=m不成立。

Answer 3

一般来说，∫(-∞→+∞)sinxdx定义为lim(a→-∞,b→+∞)∫(a→b)sinxdx。如果这么定义，那么∫(-∞→+∞)sinxdx=lim(a→-∞,b→+∞)(cosa-cosb)，不存在。
如果算主值积分，就定义为lim(r→+∞)∫(-r→r)sinxdx，结果显然是0。

Answer 4

由于∫sinx=－cosx+c,所以∫－∞至∞sinxdx=cos-∞－cos∞=cos∞-cos∞=0
sin∞=0
(-1)∧∞=0或∞