Question

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M.N分别是棱A1A和B1B的中点,求二面角B1-CM-B的大小

Answer 1

以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设A(1，0，0),C(0，1，0),则
B(1，1，0),A1(1，0，1),B1(1，1，1),
AA1的中点M(1，0，1/2),
向量B1C=(-1，0，-1),CM=(1，-1，1/2),BC=(1，0，0),
设平面B1CM的法向量m=(a,b,1),
则m*B1C=-a-1=0,m*CM=a-b+1/2=0,解得a=-1,b=-1/2.
设平面BCM的法向量n=(c,d,1),则n*CM=c-d+1/2=0,c=0,d=1/2.
∴m=(-1,-1/2,1),n=(0,1/2,1),
|m|=3/2,|n|=√5/2，mn=3/4,
cos<m,n>=(3/4)/(3/2*√5/2)=√5/5，
∴<m,n>=arccos(√5/5),为所求.