Question

高中函数题目

设函数f(x)满足等式f(x)-2f(1/x)=x，X不等于0，求函数f(x)的值域

Answer 1

f(x)-2f(1/x)=x (1)
f(1/x)-2f(x)=1/x (2)
(1)+2(2)得：

f(x)=(-1/3) ((2/x)+x)
显然，f(x)为奇函数
x>0时，((2/x)+x)的最小值为 (2*根号[2])
所以 f(x)=(-1/3) ((2/x)+x)的最大值：-(2*根号[2])/3;
x<0时，((2/x)+x)的最大值为 -(2*根号[2])
所以 f(x)=(-1/3) ((2/x)+x)的最小值：(2*根号[2])/3;
所以 f(x)的值域 （-无穷大，-(2*根号[2])/3）与 （(2*根号[2])/3，+无穷大）

Answer 2

f（x）-2f（1/x）=x.........1

f（1/x）-2f（x）=1/x.........2

2式*2+1式，得-3f（x）=x+2/x

得f（x）=-x/3-2/（3x）

所以当x>0时，f（x）=-（x/3+2/3x）≤-2√（x/3*2/3x）=-2√2/3
当且仅当x/3=2/3x，即x=√2时取得最大值。

当x<0时，f（x）≥2√2/3，当且仅当x=-√2时取得最小值

f（x）的值域为（-∞，-2√2/3〕∪〔2√2/3，+∞）

Answer 3

用1/x代换已知等式中的x，得f(1/x)-2f(x)=1/x,再和已知等式联立即得到
f(x)=-x/3-2/(3x) (x≠0)
当 x<0 时，f(x)≥2√(1/3x)(2/3x)=(2/3)√2,等号在x/3=2/(3x)时成立，类似讨论x>0的情形。
故 f(x)的值域为 (-∞，-(2/3)√2）∪((2/3)√2，+∞)

Answer 4

f(x)-2f(1/x)=x;
f(1/x)-2f(x)=1/x;
-> f(x)=-1/3(x+2/x) ok