Question

已知圆C：(x-2)²+（y-2）²=9，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0,m属

已知圆C：(x-2)²+（y-2）²=9，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0,m属于R，①证明:不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点。②分别求直线被圆C截得的弦长最小和最大时l的方程？

Answer 1

直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0,m属于R，
变为m(2x+y-7)+x+y-4=0,
由2x+y-7=0,x+y-4=0解得x=3,y=1,
∴l过定点A(3，1),
AC=√5<3,
∴点A在圆C内部，
∴不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点。
②圆心C(2,2)到l的距离d=|2(2m+1)+2(m+1)-7m-4|/√[(2m+1)^2+(m+1)^2]
=|m|/√(5m^2+6m+2),
m=0时d最小，直线l被圆C截得的弦最长，l的方程是x+y-4=0;
m≠0时d=1/√(5+6/m+2/m^2)=1/√[2(1/m+3/2)^2+1/2],
当1/m=-3/2,即m=-2/3时d最小，直线l被圆C截得的弦最短，l的方程是（-1/3)x+y/3+2/3=0,
即x-y-2=0.
本小题还可以用平几的知识解答：最长弦是过点A的直径，最短弦是过点A的垂直于直径的弦。省去求弦心距.