Question

已知方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的4个根组成一个首项为1/4的等差数列，求｜m-n

已知方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的4个根组成一个首项为1/4的等差数列，求｜m-n｜的值。

Answer 1

解：
1，由已知，设方程的4个根为：x1=1/4，x2=1/4+d，x3=1/4+2d，x4=1/4+3d，（d为等差数列的公差）
则：x1+x4=x2+x3=1/2+3d
2，原方程等效于：方程1：x²-2x+m=0，或方程2： x²-2x+n=0。
a，设方程1的根为x1，x4；方程2的根为x2，x3。
由韦达定理：
x1+x4=2……①
x1x4=m……②
x2+x3=2……③
x2x3=n……④
由①得：x4=7/4
设等差数列的公差为d，则，x1+3d=x4，即1/4+3d=7/4，解方程得：d=1/2
则，x2=x1+d=3/4，x3=x2+d=5/4
由②得：m=7/16，由④得：n=15/16
m-n=-1/2
b，设方程2的根为x1，x4；方程1的根为x2，x3。
同理可得：m-n=1/12
综合a，b知：︱m-n︱=1/2