Question

若正项级数∑un收敛,级数∑un∧2收敛吗

若正项级数∑un收敛,级数∑un∧2收敛吗？
帮帮忙啊

Answer 1

是收敛的。

若正项级数un收敛，则un收敛到0，即存在N，当n>N时，un<1，从而un^2<un，由比较判别法，正项级数un^2收敛。由已知，正项级数un，vn收敛，从而级数(un+vn)收敛，于是由上述结论，级数(un+vn)^2收敛。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

你好！级数∑un∧2是收敛的，证明过程如图。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
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Answer 3

收敛。∑un收敛，un趋于0，由局部有界性，不妨设n>N时un<1，所以un^2<un，由比较判别法，且改变有限项不影响级数收敛性，所以un^2收敛。

Answer 4

收敛，详情如图所示

Answer 5

一定收敛，可以用比较审敛法的极限形式，由∑un收敛可知其一般项趋于0，故可证其收敛