Question

已知函数fx=x^3+ax^2+bx+c在x=2/3与x=1都取得极值

已知函数fx=x^3+ax^2+bx+c在x=2/3与x=1都取得极值（是x=2/3,不是x=-2/3)
1、求a，b
2、若对x属于【-1，-2】，不等式fx<c^2恒成立，求c的
若对x属于【-1，2】，不等式fx<c^2恒成立，求c的

Answer 1

答：
1）
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
求导：
f'(x)=3x^2+2ax+b
在x=2/3和x=1除取得极值，则慢f'(x)=0
根据韦达定理有：x1+x2=-2a/3=2/3+1=5/3
x1*x2=b/3=2/3
解得：a=-5/2，b=2
2）
f(x)=x^3-5x^2/2+2x+c<c^2
设g(x)=x^3-5(x^2)/2+2x
求导：g'(x)=3x^2-5x+2
g'(x)=0的解为x1=2/3，x2=1
x<2/3或者x>1时，g'(x)>0，g(x)是增函数
所以：g(x)在区间[-1，-2]上是增函数——————请确认区间后追问，-2在后面？

追问

额，打错了，是[-1,2]

追答

2）
f(x)=x^3-5x^2/2+2x+c1时，g'(x)>0，g(x)是增函数
2/30，(c-2)(c+1)>0
解得：c2

Answer 2

求导a=负5/2 b=2
fx在定义域上单增，fx最大值f-2=c-14<c*2
解不等式即可