Question

已知数列{An}满足A(n+1)=3An+1,且A1=1/2,求数列{An}的通项公式

这题怎么做？？

Answer 1

A(n)=3*A(n-1)+1
=3*(3*A(n-2)+1)+1
=3*(3*(3*A(n-3)+1)+1)+1
=3^3 * A(n-3) + 3^2 + 3^1 + 1
……
=3^(n-1) * A(1) + (3^(n-2)+3^(n-3)+……+3^2+3^1+1)
=3^(n-1) * (-1/2) + (3^(n-1)+3^(n-2)+……+3^2+3^1+1)

显然：(3^(n-1)+3^(n-2)+……+3^2+3^1+1)是等比数列之和
(3^(n-1)+3^(n-2)+……+3^2+3^1+1)=(1-3^n)/(1-3)=(3^n-1)/2

所以：
A(n)=3^(n-1) * (-1/2) + (3^n-1)/2
=3^(n-1) - 1/2