Question

设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题

1）c=0时，f(x)是奇函数；2）b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个实根
3）f(x)的图像关于(0,c)对称；4）方程f(x)=0至多有两个根
其中正确的命题是

Answer 1

前三个命题正确
1）C=0，则f(-x)=-x|-x|-bx=-f(x) 故f(x)为奇函数
2）b=0,f(x)=x|x|+c=0 则c=-x|x| 因C>0，则x必须为负，若为正数，右边<0,
左右不等
3）设（x,y)为f(x)上一点，该点关于（0，c)的对称点是（2*0-x,2*c-y),即
（-x,2c-y) ，如果是f(x)关于（0.，c)对称，则（-x,2c-y)也在f（x)上，
可列出两个等式
y=x|x|+bx+c ①
2c-y=-x|-x|-bx=c ②
其中①是已知，在这里我们只需证明②也成立即可
把两式相加并化简
得2c=2c 恒成立 故当①成立则②必成立
命题正确
4）这个地方可以取个c=0 即f(x)=x|x|+bx，令其等于0，明显有一个x=0的根，还有一个是|x|=-b,当b<0时，x=+b或者-b都可以 即说这样可以有三个根 与题说不符