Question

麻烦帮忙解答一道概率题目

题目就是上传图片的第四题，请会的大神做一下哈。

Answer 1

first, calculate the monment generating func of 2X^β
E(e^t(2X^β))=∫(0~) (β/θ) x^(β-1) exp^(-x^β*(1/θ+2t)) dx
by substitution
let x^β*(1/θ+2t)=u
βx^(β-1)*(1/θ+2t)dx=du
dx=du/(βx^(β-1)*(1/θ+2t))
since β>0
u~(0~infinite)
E(e^t(2X^β))=∫(0~) 1/(1+2θt) exp^(-u) du
M(2x^β)(t)=1/(1+2θt)

mgf of chi-square(k) distribution=(1+2t)^(-k/2)
chi-quare(2).................=1/(1+2t)

Let K~chi-quare(2)，then Mk(t)=1/(1+2t)=E(e^kt)
M(θk)t=E(e^kθt)=1/(1+2θt)
Since 2X^β and θK have same mgf, they follow the same distribution
then we can conclude that
2X^β=θK ~ θ*χ²(2)

By the property of Chi-square distribution
Σ(1~n)(2X^β)~θ*χ²(2n)

Σ(1~n)(2X^β) has 100(1-a)% interval
(θ(χ²(a/2)(2n)),θ(χ²(1-a/2)(2n))

θ(χ²(a/2)(2n))<Σ(1~n)(2X^β)<θ(χ²(1-a/2)(2n)
下面就把不等式随便化下就得到结果了，留给你自己爽吧，不懂欢迎追问O(∩_∩)O哈哈~
还有，我不是什麼大神

Answer 2

由于公式不方便写出来，所以传了在附件中，请查收。

有问题继续问。