Question

设函数f（x）=x2-ax+b，a，b∈R． （1）已知f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，求

a的取值范围；
（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值

Answer 1

解：（1）∵函数的对称轴为x=a/2 ，
∴要使f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，则满足对称轴x=a/2 ≥1，即a≥2．
（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，
∴b＞0，
①若a≤0，则a 2
≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)≥2
f(x) max＝f(b)≤6 ，
即b≥2
b2−ab+b≤6 ，
由b2-ab+b≤6得a≥b-6/b+1≥2−6/2 +1＝0，
∴a=0，此时
b≥2 b2+b≤6 ，解得
a＝0 b＝2
②若0＜a/2＜b/2,即0＜a＜b，此时
f(x)min＝f(a/2 )≥2 f(x)max＝f(b)≤6 ，
即
b−a^2/4 ≥2
b2−ab+b≤6
0＜a＜b ，
∴b≥a2/4 +2
a≥b−6/ b +1
0＜a＜b ，
即
b≥2 b−6/b +1＜b ，
∴2＜b＜6，
又b-a^2/4≥2，则a≤2√b−2 ，
∴b-6/b +1≤2√b−2 ，
令h（x）=x-6/ x +1，g（x）=2√x−2 ，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，
当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），
∴不等式b-6 /b +1≤2√b−2 的解为2＜b≤3，
当b=3时，
3−a2 /4 ≥2
32−3a+3≤6
0＜a＜3 ，即
a≤2 a≥2
0＜a＜3
解得a=2．
③若0＜a/2 =b/2,
即0＜a=b，此时
f(x)min＝f(a/2 )≥2 f(x)max＝f(0)≤6 ，
即
b−a^2 /4 ≥2
b≤6
0＜a＜3
，此时不等式无解．
④若0＜b /2 ＜a/2〈b
即0＜b＜a＜2b，此时
f(x)min＝f(a/2)≥2 f(x)max＝f(0)≤6 ，即
b−a^2/4 ≥2 b≤6 即
b≥a2/4 +2
b≤6
b＜a ，
∴
a2 /4+2＜a，a2-4a+8＜0此时不等式无解．
⑤若a/2 ≥b，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，
∴f(x)min＝f(b)≥2
f(x)max＝f(0)≤6 ，即
b2−ab+b≥2 b≤6
a≥2b ，
即a≤b−2 /b +1
b≤6
a≥2b ，
∴2b≤b−2/ b +1，
即b+2/b ≤1，而当b＞0时，b+2 /b ≥2√2 ＞1，∴此时不等式无解．
综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．

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追问

①中a/2不是应该≤0吗？

追答

你可以画个草图看一看，a/2和0没关系啊

追问

不是a≤0吗？

追答

为什么要“a≤0”呢？
结合f（x）的图像可知，f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，就是要“1”在对称轴的左边啊

追问

哦，我说的是第二小题中的

追答

①若a≤0，则a/2 ≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)≥2
f(x) max＝f(b)≤6，即
b≥2 b2−ab+b≤6 ，
由b2-ab+b≤6得a≥b-6/b+1≥2−6/2 +1＝0，
∴a=0，此时
b≥2 b2+b≤6 ，
解得
a＝0
b＝2．

追问

①若a≤0，则a/2 ≤1（就是这一步，既然a≤0,那么a/2不就应该 ≤0吗？怎么会≤1呢？

追答

若a≤0，则a/2 ≤0，
主要是体现
此时f（x）在[0，b]上单调递增，