Question

设f(x)是定义在R上的函数,对m,n属于R恒有f(m+n)=f(m)*f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1

(1)证明：x属于R时恒有f（x）>0
(2)求证：f(x)在R上是减函数
（3）若f(x)*f(2x-x平方）>1,求x的范围

Answer 1

1、令m=n，则f(2m)= f²(m/2)》0
所以f(x)= f²(x/2)在实数上非负。
令n=0，m>0，
则f(m+0)= f(m) f(0)，由此可得到f(0)=1
令m=-n>0，-m<0,
则f(0)= f(m+n)= f(m)f(-m)=1，且在m>0时，<0f(m)<1
则f(-m)>1
所以x属于R时恒有f（x）>0。
2、令n为一无限小的正实数，则m+n略大于m
则f(m+n)/ f(m)= f(m) f(n)/f(m)=f(n)
上式取值范围为（0，1），所以f(m+n)< f(m)
所以f(x)在R上是减函数
3、由第一步骤可知f(x)在R上当x<0时有f(x)恒大于1，
则由题设可之f(x)*f(2x-x²）= f(x+2x-x²) >1
则x+2x-x²<0，可得：x>3，或x<0

Answer 2

证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n），
则f（0）=1
（2）由（1）中结论可得：
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）设x1＞x2，
∴f（x1）=f（x2+（x1-x2））=f（x2）•f（x1-x2）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
所以f(x1)f(x2)=f（x1-x2）＜1
所以f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是减函数