Question

已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x)————高一数学！！！！！！！！！

已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问，是否存在实数a，使得G（x）在（负无穷，-1]上为减函数，并且在（-1,0）上为增函数。

Answer 1

假设存在实数a，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a

函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成，
易知，函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，
要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数
∴-(2-a)/2=1，
2-a= -2，
a=4，
故存在a=4，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.

Answer 2

不存在。