Question

（2012•锦州）已知：在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D

不与B、C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①B D⊥CF．②CF=BC-CD．（2）如图2，当点D在线 段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出 CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3 ，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F 分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接 写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连 接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC， 探究△AOC的形状，并说明理由

Answer 1

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题：证明题；压轴题．
分析：（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD；
（2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=1 /2DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．

（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC
∠BAD＝∠CAF
AD＝AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；

（2）与（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；

（3）①与（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD-BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC
∠BAD＝∠CAF
AD＝AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=1 /2 DF，
∵在正方形ADEF中，OA=1/ 2 AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．

追问

三角形AOC不能证明是等边三角形吗？