Question

如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,点E为AB中点,过点E作ED垂直于BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE.

求证：AC=EF

Answer 1

已知：点E为AB中点，∴AE=BE。
在直角三角形ABC中，中线CE=AB/2=AE(中线定理)。
∴AE=CE。
已知：∠ACB=90°，ED垂直于BC，∴FD∥AC。∴∠FEA=∠EAC(两线平行内错角相等)。
∵AF=CE(已知)，CE=AE(已证)，∴AF=AE，∴∠EFA=∠FEA(等腰三角形两底角相等)。
∵∠FEA=∠EAC，∠EFA=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC=∠EFA=∠FEA。
在△AEF和△AEF中，AF=AE=CE，∠FEA=∠EAC=∠EFA=∠FEA，∴△AEF≌△AEF，
∴AC=EF。