Question

设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R

设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．
注：e为自然对数的底数．

我不知道做第二问，大家有没有什么简便的方法？虽然我作业答案上有解析，但看不太懂的说……谢谢啦

Answer 1

解：（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+(x-a)^2*1/x =（x-a）（2lnx+1- a/x），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜3a≤1时，对于任意的实数x∈（0，3a]，恒有f（x）≤0＜4e2成立，即0＜a≤ 1/3符合题意
②当3a＞1时即a＞ 1/3 时，由①知，x∈（0，1]时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a]上的最大值，
首先有f（3a）=（3a-a）2ln3a=4a2ln3a此值随着a的增大而增大，故应有
4a2ln3a≤4e2即a2ln3a≤e2，
故参数的取值范围是0＜a≤ 1/3或a＞ 1/3 且a2ln3a≤e2，

追问

请问是不是看错题了呢，当x∈（0，3e]，不是x∈（0，3a]