Question

f(x-y)=f(x)/f(y)

若函数y=f(x)满足以下条件：
1.对任意的X∈R，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)f(y);
2.x∈(0,+∞)时，f(x)∈（1，+∞）

求证：f(x-y)=f(x)/f(y) (f(y)≠0)
这是抽象函数吗？

Answer 1

Answer 2

没有给出函数表达式的都是抽象函数。

题目考的很可能就是指数函数，也可能不是。

证明：∵对任意的X∈R,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),
∴f(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y).
当f(y)≠0时,等式“f(x)=f(x-y)f(y)”两边同时处以f(y)可得：
f(x)/f(y)=f(x-y).
这就证明了：f(x-y)=f(x)/f(y) (f(y)≠0).

Answer 3

这是个抽象函数

先令x,y其中一个等于0，即f(x+0)=f(x)f(0),得f(0)=1,
再令y=-x,即f(x-x)=f(x)f(-x)=1,得f(x)=1/f(-x)
再把y换成-y，得f(x-y)=f(x)f(-y)=f(x)/f(y)

Answer 4