Question

已知函数y=x-√（x²-1)，求该函数的最大值

解题步骤

Answer 1

利用换元法。将x变为√x²，即y=√x²-√（x²-1)，有理化，注意定义域。变为y=√x²+√（x²-1)，在利用函数的单调性求最值。
或者利用导数，直接做，便可得到答案。

Answer 2

y=x-√（x2-1)=1/(x+√（x2-1))
函数的定义域是x>=1,或x<=-1
在x>=1上，y=x-√（x2-1)=1/(x+√（x2-1))<=1
在x<=-1上，y=x-√（x2-1)<=-1-√（x2-1)<=-1
综合之，函数在定义域上的最大值是1.

Answer 3

令t=√（x²-1) t ≥ 0，则y=√（t²+1)-t;
y对t求导y'=t/√（t²+1)-1
因为t的取值范围为t≥0,所以导数y'<0恒成立，故y为减函数
因此y函数最大值为 当t=0时y=1
解毕

Answer 4

根据反函数y = In[x+√（x²+1)] 就有： e^y = x+√（x²+1)

对 x+√（x²+1) = 1/( √（x²+1) - x )

e^y *( √（x²+1) - x ) = 1 就有 e^y *√（x²+1) = 1 + e^y * x

在把两边平方啊，化简就有 e^y = 1 + e^y * 2x

反函数就是： y = (e^2x-1)/2e^x x 是任意实数