Question

如图,已知D为三角形ABC边bc上一点(不与B,C重合)DE平行于AC,DF平行于AB,BC=5

1、设三角形ABC面积为S，若AEDF的面积为2/5S，求BD的长
2、若AC=根号2AB，且DF经过过三角形ABC的重心G，求E，F两点间的距离
要详细过程！！！

Answer 1

答案：1. BD=(5-√5)/2 或 BD=(5+√5)/2
2. EF=(5√2)/3
过程：1.解证：设BD=x,
∵ DE∥AC
∴ △BED ∽ △BAC
∴ S△BED/S△BAC=(BD/BC)^2
∴ S△BED/S=(x/5)^2=(x^2)/25
即： S△BED=[(x^2)/25]*S
∵ AEDF为平行四边形 , AEDF的面积=(2S)/5
∴ S△AED=S/5
∴ S△ABD= S△AED+S△BED=S/5+[(x^2)/25]*S
=[1/5+(x^2)/25]*S
又 S△ABD/S△ABC=BD/BC=x/5
∴1/5+(x^2)/25=x/5
即：x^2-5x+5=0
△=(-5)^2-4*1*5=5>0
∴ x=(5±√5)/2
由题知： 0<x<5
∴ BD=(5-√5)/2 或 BD=(5+√5)/2
2. 解证： 延长AG交BC于K, 则，BK=KC=(1/2)*BC
∵ G为重心， DF∥AB
∴ BD/DK=AG/GK=2/1
∴ BD/BK=2/3
∴ BD/[(1/2)*BC]=2/3
∴ BD/BC=1/3 , BD/DC=1/2
∴ BD=5/3
∵ DE∥AC
∴ △BED ∽ △BAC
∴ ED/BE=AC/AB=√2, ∠BED= ∠A
由DE∥AC得： BE/AE=BD/DC=1/2, 即：AE=2BE
∴ ED=(√2)*BE, 即：ED^2=2BE^2
∵ AEDF为平行四边形
∴ ED=AF
连EF, 则在 △AEF中，由余弦定理得：
EF^2=AE^2+AF^2-2*AE*AF*cos∠A
=(2BE)^2+(ED)^2-2*(2BE)*ED*cos∠BED
=4*BE^2+2*BE^2-4*BE*(√2BE)cos∠BED
=6*BE^2-(4√2)BE^2cos∠BED
同理在 △BED中，由余弦定理得：
BD^2=BE^2+ED^2-2*BE*ED*cos∠BED
即：(5/3)^2=BE^2+2*BE^2-2*BE*(√2)*BE)*cos∠BED
即： 3*BE^2-(2√2)BE^2cos∠BED=25/9
∴ EF^2=6*BE^2-(4√2)BE^2cos∠BED
=2*[3*BE^2-(2√2)BE^2cos∠BED]=2*(25/9)=50/9
∴ EF=(5√2)/3

Answer 2

很简单啊，（1）当AD为∠BAC的角平分线时四边形AEDF为菱形，具体步骤不好打字，思路是这样的：DE//CA、DF//BA推出四边形AEDF为平行四边形且∠EAD=∠ADF、∠FAD=∠ADE,当AD为∠BAC的角平分线时可推得∠EAD=∠ADF,即三角形AED为等腰三角形，所以AE=ED,所以平行四边形AEDF为菱形
（2）在（1）条件下，△ABC的∠BAC为直角时，四边形AEDF为正方形

追问

什么东西啊