Question

已知定义在区间(0 正无穷) 上的函数f（x）满足f（x1/x2）=f（x1）-f（x2），且当x大于1时，f（x）大于0

已知定义在区间（0，正无穷）上的函数f（x）满足f（x1/x2）=f（x1）-f（x2），且当x大于1时，f（x）大于0
若f（4）=2，求f(x)在【5，16】上的最大值

Answer 1

（1） 由 x1=x2时可得
f(1)=O
（2） 设x1＞x2
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2）
∵x1＞x2 ∴x1/x2＞1
∵当x＞1时，f(x)＜0
∴f(x1)-f(x2）＜0
∴f(x)在区间(0,+∞)是减函数
（3） ∵f(1)=O f(3)=-1
∴f(1／3)=f(1)－f(3)
=0－-1=1
f(3)－f(1／3)=f(3÷(1／3))=f(9)=－1－1=－2
∵f(x)在区间(0,+∞)是减函数
∴｜x｜＜9时 f（｜x｜)＜-2
∴－9＜x＜9 且x≠0

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Answer 2

（1）取x1=x2=1
则f（1）=f（1）-f（1）=0
（2）设1《x1《x2，则f（x1/x2）=f（x1）-f（x2）《0
f（x1）《f（x2），则f（x）是增函数

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Answer 3

最大值是4

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