Question

复变函数曲线的光滑的定义问题

以下是复变函数曲线光滑的定义：
x(t),y(t)是两个连续的实变函数，那么，方程组
x=x(t),y=y(t) (a<=t<=b)
代表的是一条平面曲线，称为连续曲线，如果令
z（t)=x(t)+i*y(t),
那么这曲线就可以表示成一个方程
z=z（t）（a<=t<=b)
这就是平面曲线的复数表示式，如果在区间a<=t<=b上x'(t)和y'(t)都是连续的，且对每一个t值，都有[x'(t)]^2+[y'(t)]^2不等于0，那么称这条曲线为光滑的

疑问：为什么会有“[x'(t)]^2+[y'(t)]^2不等于0”这个条件？这个条件是怎么推导出来的？是什么作用？

Answer 1

这个条件就是说曲线要有处处非零的切向量，因为求导得到的就是切向量。所以这个条件实际上是对曲线本身几何光滑性的自然要求，如果没有这个条件，曲线可能有尖角之类的。比如考察这个曲线：（t^3, |t^3|），这显然是一条折线，虽然函数是可导的，其图形不是光滑的。

追问

对于你举的这个例子中，y(t)=|t^3|，所以y'(t)显然在t=0处不连续。即这个例子没有表现出“[x'(t)]^2+[y'(t)]^2不等于0”这个条件的作用。。。

追答

你确信y'不连续？建议你仔细算算。当然如果你要无穷可微的例子也不难构造，不过我想那会更加重你的计算负担。另外这个曲线(t^2,t^3)很容易看出无穷可微，但是它在原点有一个尖点，但是你会遇到作图的负担。最后，我不会再解释这个问题了，这是数学上众所周知的初等问题，你自己想清楚吧。

Answer 2

这样说吧，如果用参数替换如：u=t^3后，那么这个参数方程是一条直线，绝对是光滑的。关键是这个替换是不合理的，光滑（或叫正则）的特征是在那种参数替换下不变的，即u'(t)连续而且不为0。