Question

如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F ,交AB于点G，若BG=CF。

求证

：AD为△ABC的角平分线（用倍长中线）

Answer 1

∵BE=CE，BP//EF，

∴CF=FP

∵BP//EF、FH//AB，

∴四边形BHFG为平行四边形，FH=BG

由BG=CF，得FH=FP，∠P=∠PHF，

由BP//EF//AD，得∠CAD=∠P，∠BAD=∠PBA

由AB//FH，得∠PBA=∠PHF

得∠CAD=∠BAD

∴AD平分ABC。

即

追问

要用倍长中线才行

追答

这样子才对

证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
∵在△BEF和CEQ中

BE＝CE    

∠BEF＝∠CEQ    

EF＝EQ    

   

，
∴△BEF≌△CEQ，
∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AD，
∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，
∴∠G=∠GFA，
∴∠GFA=∠BFE，
∵∠BFE=∠Q（已证），
∴∠G=∠Q，
∴CQ=CG，
∵CQ=BF，
∴BF=CG．

Answer 2

证明：
作BP//EF交CF的延长线于点P作FH//AB交BP于点H
因BE=CE，BP//EF所以CF=FP
因BP//EF、FH//AB，所以四边形BHFG为平行四边形，BG=FH
由BG=CF，得FP=FH，∠P=∠PHF，
由BP//EF//AD，得∠CAD=∠P，∠BAD=∠PBA
由FH//AB，得∠PBA=∠PHF
得∠CAD=∠BAD
所以AD平分三角形ABC

追问

要用倍长中线做