如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AD垂直AB,AB平行DC,AD=DC=AP=2,AB=1 10
点E为棱PC的中点。求直线BE与平面PBD所成角的正弦值:若F为棱PC上一点,满足BF垂直AC,求二面角F-AB-P的余弦值...
点E为棱PC的中点。求直线BE与平面PBD所成角的正弦值:若F为棱PC上一点,满足BF垂直AC,求二面角F-AB-P的余弦值
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考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面所成的角.
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据
BE
•
DC
=0,可得BE⊥DC;
(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量
BF
的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值.
解答:证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)
∴
BE
=(0,1,1),
DC
=(2,0,0)
∵
BE
•
DC
=0,
∴BE⊥DC;
(Ⅱ)∵
BD
=(-1,2,0),
PB
=(1,0,-2),
设平面PBD的法向量
m
=(x,y,z),
由
m
•
BD
=0
m
•
PB
=0
,得
−x+2y=0
x−2z=0
,
令y=1,则
m
=(2,1,1),
则直线BE与平面PBD所成角θ满足:
sinθ=
m
•
BE
|
m
|•|
BE
|
=
2
6
×
2
=
3
3
,
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为
3
3
.
(Ⅲ)∵
BC
=(1,2,0),
CP
=(-2,-2,2),
AC
=(2,2,0),
由F点在棱PC上,设
CF
=λ
CP
=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
故
BF
=
BC
+
CF
=(1-2λ,2-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
由BF⊥AC,得
BF
•
AC
=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,
解得λ=
3
4
,
即
BF
=(-
1
2
,
1
2
,
3
2
),
设平面FBA的法向量为
n
=(a,b,c),
由
n
•
AB
=0
n
•
BF
=0
,得
a=0
−1
2
a+
1
2
b+
3
2
c=0
令c=1,则
n
=(0,-3,1),
取平面ABP的法向量
i
=(0,1,0),
则二面角F-AB-P的平面角α满足:
cosα=
|
i
•
n
|
|
i
|•|
n
|
=
3
10
=
3
10
10
,
故二面角F-AB-P的余弦值为:
3
10
10
点评:本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/4882c80e-0dea-4c42-bbbf-fe221a691486
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据
BE
•
DC
=0,可得BE⊥DC;
(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量
BF
的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值.
解答:证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)
∴
BE
=(0,1,1),
DC
=(2,0,0)
∵
BE
•
DC
=0,
∴BE⊥DC;
(Ⅱ)∵
BD
=(-1,2,0),
PB
=(1,0,-2),
设平面PBD的法向量
m
=(x,y,z),
由
m
•
BD
=0
m
•
PB
=0
,得
−x+2y=0
x−2z=0
,
令y=1,则
m
=(2,1,1),
则直线BE与平面PBD所成角θ满足:
sinθ=
m
•
BE
|
m
|•|
BE
|
=
2
6
×
2
=
3
3
,
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为
3
3
.
(Ⅲ)∵
BC
=(1,2,0),
CP
=(-2,-2,2),
AC
=(2,2,0),
由F点在棱PC上,设
CF
=λ
CP
=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
故
BF
=
BC
+
CF
=(1-2λ,2-2λ,2λ)(0≤λ≤1),
由BF⊥AC,得
BF
•
AC
=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,
解得λ=
3
4
,
即
BF
=(-
1
2
,
1
2
,
3
2
),
设平面FBA的法向量为
n
=(a,b,c),
由
n
•
AB
=0
n
•
BF
=0
,得
a=0
−1
2
a+
1
2
b+
3
2
c=0
令c=1,则
n
=(0,-3,1),
取平面ABP的法向量
i
=(0,1,0),
则二面角F-AB-P的平面角α满足:
cosα=
|
i
•
n
|
|
i
|•|
n
|
=
3
10
=
3
10
10
,
故二面角F-AB-P的余弦值为:
3
10
10
点评:本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/4882c80e-0dea-4c42-bbbf-fe221a691486
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