Question

设函数f(x)=lnx-px+1(1)当P>0时，若对任意x>0，恒有f(x)≤0,求P的取值范围（2）证明： (n∈N

设函数f(x)=lnx-px+1(1)当P>0时，若对任意x>0，恒有f(x)≤0,求P的取值范围（2）证明： (n∈N ，n≥2)





Answer 1

（1）P≥1  （2）证明如下

（1）f(x)=ln 2 x-px+1定义域（0，+∞）,f′(x)= -p= = 当P>0时，令f′(x)=0,x= （0，+∞） 当x∈(0, )时，f′(x)>0   f(x)为增函数， 当x∈( ，+∞)时f′(x)<0 f(x)为减函数。 f(x) max =f( )=ln 要使f(x)≤0恒成立只要f( )=ln ≤0 ∴P≥1 （2）令P="1" 由（1）知：lnx-x+1≤0 ∴lnx≤x-1   n≥2 lnn 2 ≤n 2 -1     ∴ =(n-1)-( ) <(n-1)-[ ] =(n-1)-( + ) =(n-1)-( ) =