Question

在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD

Answer 1

证：
已知AD⊥BC，在RT△ACD和RT△ABD中，
AD=CD*tanC=BD*tanB=BD*2tanC/[1-（tanC）^2]
CD=2BD/[1-（tanC）^2]
（tanC）^2=（CD-2BD）/CD
AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+（CD*tanC）^2
=BD^2+CD^2*（CD-2BD）/CD
=BD^2+CD*（CD-2BD）
即AB^2=BD^2+CD^2-2BD*CD......(1)

∵AB^2=BD^2+AB^2+BD^2+2AB*BD-2*AB*BD-2BD^2
∴AB^2=BD^2+（AB+BD）^2-2*BD*（AB+BD）......(2)
由(1)、(2),得
（AB+BD）^2-2*BD*（AB+BD）=CD^2-2BD*CD
∴（AB+BD）^2-CD^2=2*BD*（AB+BD）-2BD*CD
∴（AB+BD+CD）*（AB+BD-CD）=2*BD*（AB+BD-CD）
∴（AB+BD+CD）*（AB+BD-CD）-2*BD*（AB+BD-CD）=0
∴（AB+BD-CD）*（AB+BD+CD-2BD）=0
∴（AB+BD-CD）*（AB+CD-BD）=0
但∵∠B=2∠C
∴CD>BD,（AB+CD-BD）>0
∴AB+BD-CD=0
∴AB+BD=CD

Answer 2

延长CB到E，使得BE=AB,连结AE
则由于△ABE是等腰三角形，所以 ∠E=∠BAE=1AEC/2 ∠ABD = ∠C

在△AED和△ACD中，∠E=∠C，∠ADE=∠ADC=90°，AD为公共边
所以 △AED≌△ACD

所以 CD=ED=BD+BE=BD+AB