Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1．

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1．若对于正数a、b满足f（2a+b）＜2，求b+2a+2的取值范围．

Answer 1

解：令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
∵f（2a+b）＜2=f（4），f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴2a+b＜4
∵2a+b＞0，由线性规化可得关于（a，b）可行域，
∵设k=

b+2

a+2

=

b?(?2)

a?(?2)

，
∴k就是可行域内的动点B（a，b）与定点A（-2，-2）连线的斜率
∵k_AD=

4+2

2

=3，k_AC=

2

2+2

=

1

2

，
∴k的范围为（

1

2

，3），
即求

b+2

a+2

的取值范围为（

1

2

，3）