Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π6个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x∈[0，π3]，不等式f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得，函数的周期为

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω=2．
将f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）=sin[2（x-

π

6

）+φ]+2-b=sin（2x+φ-

π

3

）+2-b 为奇函数，
∴φ-

π

3

=kπ，k∈z，且2-b=0，结合0＜φ＜π解得 φ=

π

3

，b=2，
故函数的解析式为 f（x）=sin（2x+

π

3

）-2．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
故函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）若对任意x∈[0，

π

3

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，f（x）∈[-2，-1]．
令sin（2x+

π

3

）-2=t，则t∈[-2，-1]，不等式f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 即 t²-（2+m）t+2+m≤0，
令g（t）=t²-（2+m）t+2+m，∴

g(?2)＝10+3m≤0 g(?1)＝5+2m≤0

，解得m≤-

10

3

，故m的范围是（-∞，-

10

3

]．