Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD； （2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解答：证明：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必过F，
又E是PC中点，所以EF∥AP，
∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，
∴EF∥面PAD．
证明：（2）∵平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，
面PAD∩面ABCD=AD
又AD?面PAD，∴CD⊥面PAD，
又CD在面PCD内，∴面PCD⊥面PAD．
解：（3）取AD中点O，连接PO，因为平面PAD⊥平面ABCD及△PAD为等腰
直角三角形，所以PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P-ABCD的高．
∵AD=2，∴PO=1，
∴V=

1

3

×PO×AB×AD=

2

3

．