Question

如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1.5，点M为线

如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y=-x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝23S△APB，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵直线y=-x+n过点A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
∵抛物线y=ax²+bx+2的对称轴为直线x=

3

2

，经过点A（-1，0），
∴

? b 2a ＝ 3 2 a?b+c＝0

，
解得

a＝? 1 2 b＝ 3 2

．
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C点坐标为（m，-m-1）．
∵点M为线段AB上一点，
∴-1＜m＜4．
∴PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（m-

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