Question

已知数列{an}的首项a1=5，an+1=2an+1，n∈N*．（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式

已知数列{an}的首项a1=5，an+1=2an+1，n∈N*．（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式以及前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a₁=5，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*．
即

an+1+1

an+1

＝

2an+1+1

an+1

＝2，n∈N^*都成立，
又a₁+1=6≠0，
∴数列{a_n+1}是首项为6，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得a_n+1=6?2^n-1，
则a_n=6?2^n-1-1，
于是S_n=6(20+21+…+2n?1)?(1+1+…+1)＝6?

1?2n

1?2

?n=6?2ⁿ-n-6．