Question

在三角形ABC中,角ABC=90度,D是边AC上的一点,连接BD使角A=2角DBC,E是BC上一点,以BE为直径的圆O经过点D

1,求证：AC是圆O的切线 2，若角A=60度，求阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

①证明：

连接OD

∵∠DOC=2∠DBC（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角）

   ∠A=2∠DBC

∴∠DOC=∠A

在△ABC和△ODC中，∠A=∠DOC，∠C=∠C

∴∠ODC=∠ABC=90°

∴AC是⊙O的切线

②【一个数字也没有，设⊙O的半径为r】

∵∠DOC=∠A=60°

∴∠C=30°

则OC=2OD=2r，CD=√3r

S△ODC=OD×CD÷2=(√3/2)r^2

S扇形ODE=60°/360°×πr^2=(π/6)r^2

阴影面积=S△ODC-S扇形ODE=(3√3-π)/6·r^2