Question

如图，在直角坐标平面中，O为原点，A（0，6），B（8，0）。点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线

如图，在直角坐标平面中，O为原点，A（0，6），B（8，0）。点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AO方向运动，点Q从点B出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向运动，P，Q两动点同时出发，设移动时间为t（t＞0）秒．（1）在点P，Q的运动过程中，当点P在AO的延长线上时，若△POQ与△AOB相似，求t的值；（2）如图2，当直线PQ与线段AB交于点M，且 时，求直线PQ的解析式；（3）以点O为圆心，OP长为半径画圆⊙O，以点B为圆心，BQ长为半径画⊙B，讨论⊙O和⊙B的位置关系，并直接写出相应t的取值范围．

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Answer 1

（1）据题意，t秒时AP=2t，BQ= t，OP = ，OQ=" 8+t" 。 若△POQ∽△AOB，则 ，即 ， 解得 ，                                       若△POQ∽△BOA，则 ，即 解得 ，                                     ∴当 或25时 △POQ与△AOB相似．            （2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G． 根据题意得PO//MN，∴△BMN∽△BAO   ∴ ∵     ∴       ∴     ∴ MN=1 同理 MG=     ∴ M（ ，1）              ∵ OQ=" 8+t"    ∴ NQ= 由△QMN∽△QPO得： ，即 。 解得： ，或者t=0（舍去） ∴ P（0， ）                                  ∴PQ直线解析式：                    （3）当 且t≠3时，两圆外离；当 时，两圆外切；当 时，两圆相交；当 时，两圆内切；当 时 两圆内含．

(1) △POQ∽△AOB,分两种情况进行讨论； （2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G．利用△BMN∽△BAO得出 ，从而得出MN的长，同理可得MG的长，得出M点的坐标，同理求出P点坐标，然后再求出PQ的解析式； （3）对t进行分段讨论。