Question

已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x+ a 2 x ，（其中a＞0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f

已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x+ a 2 x ，（其中a＞0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅲ）若对任意的x 1 ，x 2 ∈[1，e]，（e为自然对数的底数，e≈2.718）都有f（x 1 ）≤g（x 2 ），求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（1）=1-ln1=1，f′（x）=1- 1 x ，则f′（1）=0，即切线斜率为0， 故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=0?（x-1），即y=1； （Ⅱ）h（x）=f（x）+g（x）=x-lnx+x+ a 2 x =2x+ a 2 x -lnx，定义域为（0，+∞）， ∴ h ′ (x)=2- a 2 x 2 - 1 x = 2 x 2 -x- a 2 x 2 ， 令h′（1）=0，解得a 2 =1， 又a＞0，∴a=1， 经验证a=1符合条件． （Ⅲ）对任意的x 1 ，x 2 ∈[1，e]都有f（x 1 ）≤g（x 2 ）成立，等价于对任意的x∈[1，e]都有f max （x）≤g min （x）成立， 当x∈[1，e]时， f ′ (x)=1- 1 x = x-1 x ≥0 ，∴f（x）在[1，e]上单调递增，f max （x）=f（e）=e-1． ∵ g ′ (x)=1- a 2 x 2 = (x-a)(x+a) x 2 ，x∈[1，e]，a＞0， ∴（1）若0＜a≤1，g′（x）≥0， g(x)=x+ a 2 x 在[1，e]上单调递增， ∴ g min (x)=g(1)=1+ a 2 ， ∴1+a 2 ≥e-1，解得 e-2 ≤a≤1 ． （2）若1＜a＜e， 当1≤x＜a时，则 g ′ (x)= (x-a)(x+a) x 2 ＜0 ，当a≤x≤e时，则 g ′ (x)= (x-a)(x+a) x 2 ≥0 ， ∴g（x）在[1，a）上递减，在[a，e]上递增，g min （x）=g（a）=2a≥f max （x）=e-1，解得 a≥ e-1 2 ， 又1＜a＜e，∴a∈（1，e） （3）当a≥e时， g ′ (x)= (x-a)(x+a) x 2 ≤0 ，∴g（x）在[1，e]上递减， g min (x)=g(e)=e+ a 2 e ≥ f max (x)=e-1 ，∴a 2 ≥-e恒成立． 综上所述 a∈[ e-2 ，+∞) ．