Question

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=|2x+1|-|x-3|=

?x?4  ，(x≤? 1 2 ) 3x?2  ，(? 1 2 ≤x＜3 ) x+4  ，(x≥3)

，如图，它与 y=4的交点为（-8，4）和（2，4）．
故不等式f（x）≤4的解集为[-8，2]．
（Ⅱ）由f（x）的图象知，x=-

1

2

时，f（x）有最小值-

7

2

，存在x使得f（x）+a≤0成立，
等价于-a≥-

7

2

，a≤

7

2

．故实数a的取值范围为（-∞，

7

2

）．