Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=log2(1-x)，x≤0f(x-1)-f(x-2)，x＞0（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=log2(1-x)，x≤0f(x-1)-f(x-2)，x＞0（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N*满足的关系式；（2）对于数列{an}，若存在正整数T，使得an+T=an，则称数列{an}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{an}为周期数列，指出它的周期T，并求a2012的值．

Answer 1

解答:解:(1)f(-1)=log22=1，f(0)=0，
f(1)=f(0)-f(-1)=-1，
f(2)=f(1)-f(0)=-1.…(4分)
当n∈N*时，由已知可得:f(n+2)=f(n+1)-f(n)，
f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)，…(6分)
两式相加:f(n+3)=-f(n).…(7分)
(2)由(1)得:an+3=-an，
∴an+6=-an+3=an.…(10分)
∴{an}是周期为6的周期数列.…(11分)
∴a2012=a335×6+2=a2=f(2)=-1.…(14分)

Answer 2

（1）f（-1）=log₂2=1，f（0）=0，
f（1）=f（0）-f（-1）=-1，
f（2）=f（1）-f（0）=-1．…（4分）
当n∈N^*时，由已知可得：f（n+2）=f（n+1）-f（n），
f（n+3）=f（n+2）-f（n+1），…（6分）
两式相加：f（n+3）=-f（n）．…（7分）
（2）由（1）得：a_n+3=-a_n，
∴a_n+6=-a_n+3=a_n．…（10分）
∴{a_n}是周期为6的周期数列．…（11分）
∴a₂₀₁₂=a_335×6+2=a₂=f（2）=-1．…（14分）