Question

某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣

某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=100at10?60(0＜t≤10)340(10＜t≤20)?15t+640(20＜t≤40)（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？

Answer 1

（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，
即100?a

5

10

-60=140，
解得，a=4；
（2）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，
由于f（5）＞f（35），
故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；
（3）①当0＜t≤10时，
由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，
②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；
③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，
故20＜t≤

100

3

，
综上所述，5≤t≤

100

3

，
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持

100

3

-5=

85

3

分钟．