Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，求f(x)的解析式

Answer 1

f（x）为二次函数，则f（x）可以写成f（x）=ax^2+bx+c的形式
f（x+1）+f（x-1）=a(x+1)^2+b(x+1)+c+ a(x-1)^2+b(x-1)+c
=2ax^2+2a+2bx+2c= 2x²-4x
所以2a=2 2b=-4 2a+2c=0
即 a=1 b=-2 c=-1
f（x）=x^2-2x-1 (x^2为x的平方)

Answer 2

令f(x)=ax²+bx+c;
f（x+1）=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+(a+b+c);
f（x-1）=a(x-1)²+b(x-1)+c=ax²+(b-2a)x+(a-b+c);
f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+(2a+2c);
因为：f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
对应：
2a=2;
2b=-4;
2a+2c=0;
所以：
a=1,b=-2,c=-1;
f(x)=ax²+bx+c=x²-2x-1