Question

设{α1，α2，…，αm}与{β1，β2，…，βm}为两个向量组，证明：向量组{α1，α2，…，αm}与{β1，β2

设{α1，α2，…，αm}与{β1，β2，…，βm}为两个向量组，证明：向量组{α1，α2，…，αm}与{β1，β2，…，βm}等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使（α1，α2，…，αm）P=（β1，β2，…，βm）．

Answer 1

解答：证明：必要性．
若存在可逆矩阵P，使（α₁，α₂，…，α_m）P=（β₁，β₂，…，β_m），则
{β₁，β₂，…，β_m}可由{α₁，α₂，…，α_m}线性表示
同时，由于P是可逆的，有
（α₁，α₂，…，α_m）=（β₁，β₂，…，β_m）P^-1，
∴{α₁，α₂，…，α_m}可由{β₁，β₂，…，β_m}线性表示
∴向量组{α₁，α₂，…，α_m}与{β₁，β₂，…，β_m}等价
充分性．
若向量组{α₁，α₂，…，α_m}与{β₁，β₂，…，β_m}等价，则
向量组{α₁，α₂，…，α_m}与{β₁，β₂，…，β_m}列等价
矩阵A=（α₁，α₂，…，α_m）与矩阵B=（β₁，β₂，…，β_m）列等价
∴对矩阵A施行初等列变换可以化成矩阵B
又根据初等变换与矩阵乘法的关系，得
对A施行初等列变换，相当于在A的右侧乘以相应的初等矩阵，而初等矩阵是可逆的
因而存在可逆矩阵P，使得
AP=B
即存在可逆矩阵P，使（α₁，α₂，…，α_m）P=（β₁，β₂，…，β_m）．