Question

如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，（1）求BC和OF的长；（2）求

如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，（1）求BC和OF的长；（2）求证：E、O、G三点共线；（3）小叶从第（1）小题的计算中发现：等式1OF2＝1OB2+1OC2成立，于是她得到这样的结论：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，CD=h，则有等式1a2+1b2＝1h2成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8，
∴BC＝

OB2+OC2

＝10，
∴S△BOC＝

1

2

BC?OF＝

1

2

BO?CO，
即：10×OF=6×8，
解得：OF=4.8．
（2）连接OE，OG，

∵BO分别平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO，
又∵AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，
∴∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，
同理：∠COG=∠COF，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°，
∴E，O，G三点共线．
（3）等式2成立．
理由如下：
∵tan∠CAB=

a

b

＝

h

b2?h2

，
∴

a2

b2

＝

h2

b2?h2

，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴

a2b2

a2b2h2

＝

(a2+b2)h2

a2b2h2

，
即可得：

1

a2

+

1

b2

＝

1

h2

．