Question

高一数学必修一问题.

1. 设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x+y+1)成立,则f(x)=_____.
2. 若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对一切x,y＞0,满足f(x/y)=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)＜2

Answer 1

1. 设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x+y+1)成立,
则f(x)=_____.
解：令y=x,得f(0)=f(x)-x(3x+1),f(0)=1,
∴f(x)=3x^2+x+1.

2. 若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对一切x,y＞0,满足f(x/y)=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值
解：f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0.
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)＜2
解：f(6)=f(36/6)=f(36)-f(6),
∴f(36)=2f(6)=2,
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，
∴f(x)是增函数，
不等式f(x+3)-f(1/3)＜2
化为f[3(x+3)]<f(36),
∴0<3(x+3)<36,
∴-3<x<9.