Question

设F(X)是定义在R上以2为周期的奇函数，已知当X∈（0，1）时，F(X)=lg1-X分之1则F(X)在（1,2 )上是增或减函

Answer 1

由已知得：f(x)=f(x+2),f(x)=-f(-x)
所以f(x+2) =-f(-x)，即f(x+2) +f(-x)=0
此等式说明函数图像关于点（1,0）对称，
F(X)=lg1/(1-x)在X∈（0，1）时是递增的，
所以F(X)在（1,2 )上是递增的。
下面求出1<x<2时函数的解析式。
在1<x<2时函数的图像上任取一点（x,y）,
因为函数图像关于点（1,0）对称，
所以点（x,y）关于点（1,0）的对称点（2-x,-y）必定在0<x<1时函数的图像上。
而0<x<1时函数的解析式为y=lg[1/(1-x)],
点（2-x,-y）在0<x<1时函数的图像上,
所以-y= lg[1/(1-(2-x))],
即：y=-lg[1/(x-1)]=lg(x-1)( 1<x<2时).
显然f(x)在（1,2）上递增。
1<x<2时,0<x-1<1, lg(x-1)<0.此时f(x)<0.